Fractions are Hard!

5.2 Het vervolgverhaal over breuken

Ergens tijdens onze lagere school hebben we een meetkundig model gebouwd van ons getallensysteem: de getallenlijn.

Hier is een schets van 5 lijnstukken:

F1

Het lijkt heel vanzelfsprekend om ze langs één lijn te leggen.

F1

We kunnen de lijnstukken benoemen met hele getallen, het aantal stukken dat we nodig hebben om een bepaalde plek op de lijn te bereiken. De lijnstukken zijn allemaal neergelegd rechts van een bijzonder punt, dat hebben we “0” genoemd.

F1

Op deze manier hebben we geleerd om aan deze getallen te denken als aan vaste punten langs de getallenlijn. Punt 5 bijvoorbeeld, is de punt van het vijfde lijnstuk rechts vanaf punt “0”. Deze lijn met genummerde punten hebben we de getallenlijn genoemd.

Samenvattend: We leren getallen te verbinden aan punten op de lijn, en  – stiekum – ook het omgekeerde: elk punt op de lijn is waarschijnlijk verbonden met een getal.  

Daarna wordt ons gevraagd om aan delen van een lijnstuk te denken, ofwel, om een lijnstuk te behandelen als was het een taart. We raken vertrouwd met delen van lijnstukken.

F1

Het plaatsen van deze delen van lijnstukken op de getallenlijn, doet waarschijnlijk veronderstellen dat er punten op de getallenlijn zijn die met een breuk benoemt moeten worden.

F1

Samenvattend: Er wordt verondersteld dat breuken getallen zijn: hoe dan ook, ze worden op de getallenlijn getekend.

Verderop in de lagere school wordt een hoeveelheid als \(\frac{7}{3}\) gelezen als  “zeven derde” (zoals in het dagelijks spraakgebruik) en het wordt geïnterpreteerd als het uiteinde van zeven kopieën van één derde:

\(\dfrac{7}{3} = \) “zeven derde”  \(=\) zeven van deze \(\dfrac{1}{3}\)

\(= \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3} +  \dfrac{1}{3}\)

\(=\) zeven groepen van  \(\dfrac{1}{3}\)

\( = 7 \times \dfrac{1}{3}\).

F1

Tegelijkertijd wordt ons geleerd dat \(\dfrac{7}{3}\), als voorbeeld, betekent “7 gedeeld door 3.” Ofwel, het is het resultaat als we een stuk van 7 lijnstukken verdelen in 3 gelijke delen en één van die delen uitkiezen. Dat is prima, maar is het voor iedereen duidelijk dat \(\dfrac{7}{3}\) op precies dezelfde plek ligt als \(7 \times \dfrac{1}{3}\)?

F1

 

Uitdaging: Kun je zelf duidelijk maken WAAROM het delen in drie van een sectie van 7 eenheden absoluut op dezelfde plek uitkomt dan de zeven kopieën van \(\dfrac{1}{3}\)? (Zó waarschijnlijk is dat niet!)

 

HET BEGIN VAN REKENEN MET BREUKEN

Het begrip van optellen en aftrekken is intuitief op getallenlijn: het toevoegen of wegnemen van lijnstukken.

F1

De optelling van \(\dfrac{7}{3}\) en \(\dfrac{10}{3}\), als voorbeeld, wordt vanzelfsprekend gezien als 7 derden en 10 derden die aan elkaar gelegd worden tot 17 derden.

 

\(\dfrac{7}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{17}{3}\).

F1

Als alle delen ook daadwerkelijk van dezelfde maat zijn (gelijknamig zijn), zoals “derden”, dan zijn optellen en aftrekken inderdaad hetzelfde als bij appels. Het probleem ontstaat als iemand delen wilt optellen die niet dezelfde “maat” hebben. Bij voorbeeld, hoe gaat iemand om met \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\)? In het model op de getallenlijn zien we dat er wel een antwoord moet zijn, maar het wordt moeilijk om dit te vinden.

F1

MEER REKENKUNDE?

Naar verluid zijn breuken dus getallen. We kunnen er dus mee rekenen ook – met name optellen en aftrekken – en moeten dus kunnen vermenigvuldigen en delen ook? Hoe?

 

SAMENVATTEND:  We hebben eerst de indruk dat breuken geen getallen zijn (immers, één derde van een groep poezen kun je niet optellen bij de helft van een groep sterren, dat is zinloos). Vervolgens krijgen we de indruk dat breuken getallen zijn, ze verschijnen op de getallenlijn en we kunnen er vervolgens wél mee optellen. (Wat is er gebeurd met de poezen en sterren?) Nu breuken dus verondersteld worden als getallen moeten we ermee kunnen vermenigvuldigen en delen ook – alleen is volstrekt onduidelijk hoe dat in zijn werk moet gaan. (En als het werkt, kan dat dan ook met poezen en sterren?

 

Als gedachtengoed is het in ieder geval erg vreemd!

 

 

Please join the conversation on Facebook and Twitter and kindly share this page using the buttons below.


Share on FacebookTweet about this on Twitter

Resources

resources

Books

Take your understanding to the next level with easy to understand books by James Tanton.

BROWSE BOOKSarrow

resources

Guides & Solutions

Dive deeper into key topics through detailed, easy to follow guides and solution sets.

BROWSE GUIDESarrow

light bulb

Donations

Consider supporting G'Day Math! with a donation, of any amount.

Your support is so much appreciated and enables the continued creation of great course content. Thanks!

heart

Ready to Help?

Donations can be made via PayPal and major credit cards. A PayPal account is not required. Many thanks!

DONATEarrow